Линейная алгебра

Матричные вычисления, такие как умножение матриц, построение разложений матриц, вычисление определителя и др. являются важной частью любой библиотеки программ для численных расчетов. В отличие от некоторых языков программирования, таких как MATLAB, в NumPy операция * — это поэлементное умножение матриц, а не стандартное умножение матриц из линейной алгебры. В связи с этим в NumPy для умножения матриц реализована функция dot как в виде метода объекта типа ndarray, так и в виде функции из пространства имен numpy:

In [156]: x = np.array([[1., 2., 3.], [4., 5., 6.]])

In [157]: y = np.array([[6., 23.], [-1, 7], [8, 9]])

In [158]: x
Out[158]: 
array([[1., 2., 3.],
       [4., 5., 6.]])

In [159]: y
Out[159]: 
array([[ 6., 23.],
       [-1.,  7.],
       [ 8.,  9.]])

In [160]: x.dot(y)
Out[160]: 
array([[ 28.,  64.],
       [ 67., 181.]])

Выражение x.dot(y) эквивалентно np.dot(x, y):

In [161]: np.dot(x, y)
Out[161]: 
array([[ 28.,  64.],
       [ 67., 181.]])

Произведение матрицы на согласованный одномерный массив дает одномерный массив:

In [162]: np.dot(x, np.ones(3))
Out[162]: array([ 6., 15.])

Операция @ также выполняет умножение матриц:

In [163]: x @ np.ones(3)
Out[163]: array([ 6., 15.])

Модуль numpy.linalg стандартный набор функций для разложения матриц, а также вычисления определителя и обратной матрицы. Они реализуются с помощью тех же стандартных библиотек линейной алгебры, которые используются в других языках (например, MATLAB и R), таких как BLAS, LAPACK, или, возможно (в зависимости от вашей сборки NumPy), проприетарной Intel MKL (Math Kernel Library):

In [164]: from numpy.linalg import inv, qr

In [165]: X = np.random.randn(5, 5)

In [166]: mat = X.T.dot(X)

In [167]: inv(mat)
Out[167]: 
array([[  1.17126787,   0.63442101,  -0.43366495,   0.12451843,
         -0.43842659],
       [  0.63442101,  20.97155103,   4.85020898,   1.20337434,
        -25.85438743],
       [ -0.43366495,   4.85020898,   1.82425292,   0.15709542,
         -6.39429734],
       [  0.12451843,   1.20337434,   0.15709542,   0.33177322,
         -1.54477735],
       [ -0.43842659, -25.85438743,  -6.39429734,  -1.54477735,
         32.3946724 ]])

In [168]: mat.dot(inv(mat))
Out[168]: 
array([[ 1.00000000e+00,  4.44089210e-16,  0.00000000e+00,
        -1.38777878e-17, -4.44089210e-16],
       [ 0.00000000e+00,  1.00000000e+00,  7.10542736e-15,
         0.00000000e+00, -2.84217094e-14],
       [ 0.00000000e+00,  0.00000000e+00,  1.00000000e+00,
         8.88178420e-16, -1.42108547e-14],
       [-4.44089210e-16, -1.42108547e-14, -3.55271368e-15,
         1.00000000e+00,  1.42108547e-14],
       [ 0.00000000e+00, -1.42108547e-14, -3.55271368e-15,
         8.88178420e-16,  1.00000000e+00]])

In [169]: q, r = qr(mat)

In [170]: r
Out[170]: 
array([[-1.98177521, -1.01858515, -3.90022484, -1.74739689, -1.69358168],
       [ 0.        , -8.4068366 , -5.93064791, -5.55543324, -8.16388208],
       [ 0.        ,  0.        , -1.63499732, -2.80467309, -0.45129639],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        , -3.17546169, -0.14914608],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.02382757]])

В таблице представлены наиболее часто используемые функции линейной алгебры.

Таблица 6. Часто используемые функции модуля numpy.linalg

Функция	Описание
`diag`	Возвращает диагональные элементы квадратной матрицы в виде одномерного массива или преобразует одномерный массив в квадратную матрицу с нулями вне диагонали
`dot`	Умножение матриц
`trace`	След матрицы — сумма диагональных элементов
`det`	Определитель матрицы
`eig`	Вычисляет собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
`inv`	Вычисляет обратную матрицу
`pinv`	Вычисляет псевдообратную матрицу Мура—Пенроуза
`qr`	Вычисляет \( QR \) разложение матрицы
`svd`	Вычисляет сингулярное разложение матрицы (SVD)
`solve`	Решает линейную систему \( A x = b \), где \( A \) — квадратная матрица
`lstsq`	Находит решение линейной системы \( Ax = b \) методом наименьших квадратов